Numeri matematicamente perfetti

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Elementi di Euclide
Una proposizione degli "Elementi" di Euclide, trascritta nel Codex Vaticanus 190

TUTTI I NUMERI NATURALI SONO INTERESSANTI.  Pensate di no? Se esistessero dei numeri naturali non interessanti, tra questi potremmo prendere il più piccolo. Ma questo sarebbe il più piccolo dei numeri non interessanti, il che lo renderebbe interessante! Allora non esiste un più piccolo numero non interessante e, dunque, non esistono numeri non interessanti.

Non vi spaventate, questo è un ragionamento che si avvale delle ambiguità della lingua. In logica e in matematica, una proprietà deve essere definita precisamente. Ad esempio, la perfezione è un concetto vago ma, riguardo i numeri, circa 2500 anni fa i primi matematici greci ne diedero una definizione. I cosiddetti numeri perfetti furono studiati dai pitagorici e successivamente da Euclide. Questi, intorno al 300 A. C., li discusse nei suoi celebri “Elementi”.

LA PERFEZIONE NEI DIVISORI – Scegliete un qualsiasi numero intero, per esempio chi scrive sceglie il 12. Il vostro numero ha dei divisori: numeri interi inferiori per i quali la divisione dà un numero intero. Ricordate che ogni numero ha sempre tra i divisori sia l’1 che se stesso. Ad esempio di 12 sono: 1, 2, 3, 4, 6, 12. A questo punto sommate tutti i divisori propri, ovvero tutti i divisori eccetto il numero stesso. Per 12 si ha: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16. Se la somma dei divisori propri è maggiore del numero di partenza, questo si dice abbondante;  se è inferiore, si dice deficiente (o difettivo). Se la somma dei divisori propri è pari al numero di partenza, si dice “perfetto”.

DIO FECE I NUMERI INTERI; TUTTO IL RESTO È OPERA DELL’UOMO“, LEOPOLD KRONECKER – Potete iniziare dal 2 e fare tutte le prove per trovare i numeri perfetti. Vi invitiamo a farlo. L’1 è, come per i numeri primi, un caso ambiguo e solitamente non è considerato perfetto (del resto non ha divisori propri). Dovreste accorgervi che tutti i numeri primi sono deficienti: hanno un solo divisore proprio, cioè 1. I numeri perfetti sono alquanto rari e non è neppure chiaro se ve ne siano infiniti. Tuttavia, il primo numero perfetto si trova immediatamente ed è il 6. La somma dei suoi divisori propri è 1 + 2 + 3 = 6.

6 è il primo dei numeri perfetti
6 e i suoi divisori. La somma dei divisori coincide con il numero di partenza. È il primo dei numeri perfetti.

EUCLIDE IN AIUTO – Se volete divertirvi, il prossimo numero perfetto è vicino. Tuttavia, è laborioso fare le prove per tutti i numeri, trovando i divisori. Allora, si ricorre ad una scoperta di Euclide: esiste un legame tra i numeri perfetti e i numeri primi! Prendiamo le potenze di 2, ovvero i numeri ottenuti partendo da 1 (che è 2^0) e raddoppiando più volte: 1, 2, 4, 8, 16, 32… (e altri infiniti di questi!). A ciascuno di questi numeri sottraete 1 per ottenere: 0, 1, 3, 7, 15, 31… Tra questi selezioniamo i numeri primi. Nella nostra sequenza sono 3, 7 e 31. Numeri primi scelti in questa maniera sono detti numeri primi di Mersenne, in onore di Marin Mersenne, frate e matematico francese del ‘600. Nonostante il nome, Euclide li conosceva già.

Innanzitutto, notate che qualsiasi numero di Mersenne è la somma di tutte le potenze di due minori di esso. Ad esempio 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7 e 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 (quante partite vengono giocate a partire dai quarti di finale di un torneo?). Scegliete uno dei numeri di Mersenne e prendete la più grande potenza di 2 minore di esso. Ad esempio, scegliendo 7, la maggiore potenza di 2 minore di 7 è 4. Moltiplicando questi due numeri ottenete 7 x 4 = 28. La somma dei divisori propri di 28 è 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Ecco trovato il secondo numero perfetto!  Potete anche verificare che scegliendo il numero di Mersenne 3, e dunque 2 come maggiore potenza di 2 minore di 3, la moltiplicazione 2 x 3 = 6.

La dimostrazione che questo procedimento funziona sempre per ottenere un numero perfetto è presente nel libro VII degli “Elementi”. Circa 2000 anni dopo, il matematico settecentesco Eulero, dimostrò il converso: ad ogni numero perfetto pari è associato un numero primo di Mersenne. Esiste un rapporto biunivoco tra numeri primi di Mersenne e numeri perfetti pari. Invece, non è noto se esistano o meno numeri perfetti dispari. Non ne è mai stato trovato uno.

SONO ANCHE NUMERI GEOMETRICI – Ogni numero perfetto è anche un numero triangolare, ovvero è la somma di numeri interi consecutivi. Infatti: 6 = 1 + 2 + 3 e 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.  Basti guardare la figura per capire il motivo del nome “triangolare”. Si precisa che non tutti i numeri triangolari sono perfetti.

Somma di gauss numeri triangoli
Un rettangolo di 7 x 4 pallini puo essere ri-arrangiato come un triangolo a base 7. Questo è un modo grafico per descrivere la somma di Gauss.

Avete notato qualcosa nelle due somme precedenti? Il numero più alto della somma, o della base del triangolo, è il numero di Mersenne relativo al numero perfetto. Si può capire il nesso con il celeberrimo metodo di Gauss (che si può applicare a tutti i numeri triangolari). Per fare la somma di 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7, conviene raggruppare (proprietà commutativa) i numeri nel seguente modo: (1 + 6) + (2 + 5) + (3 + 4) + 7. I primi tre termini valgono 7 ciascuno, e quindi la somma diventa 7 + 7 + 7 + 7 = 4 x 7 !

Si capisce che il prossimo numero perfetto è dato da 1 + 2 + 3 + …. + 30 + 31 = (1 + 30) + (2 + 29) +…+ (15 + 16) + 31 = 16 x 31 = 496. Ecco il numero perfetto e triangolare relativo al numero primo di Mersenne 31. Per fare la prova vediamo subito qual è la somma dei divisori propri di 496: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 +  62 +  124 + 248 = 496. Perfetto!

VERSO L’INFINITO? – Come già accennato, non è noto se esistano infiniti numeri perfetti. La dimostrazione di questo fatto, o del contrario, è uno dei problemi aperti della branca di teoria dei numeri della matematica. Ad oggi sono noti solamente quarantanove numeri perfetti, il più grande dei quali possiede ben 44,677,235 cifre.

Riassumendo, i primi cinque numeri perfetti sono:

  • 6. Numero di Mersenne: 3.
  • 28. NM: 7.
  • 496. NM: 31.
  • 8,128. NM: 127. Divisori propri: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064.
  • 33,550,336. N. M. : 8191. Sapendo che questo è pari a 4096 x 8191, sapreste scrivere tutti i divisori? Il trucco sta nello scrivere tutti i divisori di 4096 (è una potenza di 2!) e poi moltiplicare ciascuno per 8191.

Avreste mai scommesso che 33,550,336 fosse un numero interessante?

Se siete giunti a questo punto, e anche se non!, l’autore è disponibile per ulteriori chiarimenti o domande! 

Sono dottorando in Fisica alla Sapienza di Roma, dove svolgo ricerca su cosmologia primordiale e particelle elementari. Ho lavorato come Teaching Assistant alla UCLA. Sono fondatore di Bunte Kuh e mi occupo della divulgazione scientifica.

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